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ANGULOS

UN POCO DE HISTORIA

La trigonometría, que etimológicamente significa medida de ángulos de un triángulo, estudia

las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo.

Las primeras aplicaciones se registran en la navegación y astronomía ya que el principal

problema era determinar una distancia inaccesible, el movimiento de un barco en el mar

en relación a las estrellas que se consideraban fijas, la distancia entre la Tierra y la Luna,

anchura de ríos, altura de montañas, etc.

Luego se generalizó el estudio de la trigonometría cuando aparecieron problemas de física,

química y en general, el estudio de los fenómenos periódicos como el sonido o el flujo de

una corriente.

Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Más

tarde, los griegos, impulsados por el astrónomo Ptolomeo, adoptaron el sistema sexagesimal

de los babilonios para medir ángulos.

ÁNGULOS

El ángulo a es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que se intersecan en

un punto O, una de las semirrectas se denomina lado inicial y la otra lado final.

Gráficamente representamos un ángulo como:

4 Secretaria Académica Seminario Universitario

Matemática Unidad 4. Trigonometría Material para Estudiantes

Si consideramos el ángulo situado en el plano con el sistema de ejes cartesianos, de modo que

el lado inicial coincida con el semieje positivo x, el lado final puede rotar en dos direcciones.

Si rota en sentido antihorario, el ángulo es positivo y en sentido horario es negativo.

Sistema de medición de ángulos

El sistema de medición de ángulos que se utiliza con mayor frecuencia es el sistema

sexagesimal. Se denomina así porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que

la siguiente unidad inferior (o superior).

La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimal es el grado (°), que representa la

subdivisión en 90 partes iguales de un ángulo recto. Cada grado se divide en 60 minutos (´)

y cada minuto se divide en 60 segundos (”).

5 Secretaria Académica Seminario Universitario

Matemática Unidad 4. Trigonometría Material para Estudiantes

Otro sistema para medir ángulos, utilizado en las funciones trigonométricas es el sistema

radial, cuya unidad de medida es el radián.

El radián es el ángulo cuyo arco de circunferencia tiene una longitud igual al radio de la

circunferencia.

El ángulo de un giro mide 2p radianes, ya que el arco de circunferencia, comprendido entre

sus lados inicial y final, es exactamente el perímetro de la circunferencia de radio uno.

El número p (pi) es la relación entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro. Es

un número irracional y junto con el número “e”, es una de las constantes matemáticas que

más aparece en las aplicaciones de la física e ingeniería.

Pasaje de un sistema a otro

Ejemplo 1

¿Cuántos radianes son 225°?

360°

225°

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Matemática Unidad 4. Trigonometría Material para Estudiantes

Ejemplo 2

¿Cuántos grados son ?

360°

Al utilizar la calculadora se puede trabajar con los

dos sistemas de medidas de ángulos:

En modo “degree (DEG)”, la calculadora considera que la

medida del ángulo está representada en el sistema sexagesimal.

En modo “radián (RAD)”, la calculadora leerá

la medida del ángulo en el sistema radial.

1) Expresar los siguientes ángulos en radianes:

2) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

Completar la tabla dibujando en todos los casos triángulos rectángulos

con la medida que se da de uno de los ángulos siendo la posibilidad para

el resto de los ángulos y lados, cualquier valor.

ACTIVIDADES

ÁNGULOS

7 Secretaria Académica Seminario Universitario

Matemática Unidad 4. Trigonometría Material para Estudiantes

Medida de uno

de los ángulos

del triángulo

lado opuesto

hipotenusa

lado adyacente

hipotenusa

lado opuesto

lado adyacente

a = 30°

a = 45°

a = 60°

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

La tabla anterior demuestra que dado cualquier triángulo rectángulo las relaciones entre los

lados y ángulos serán siempre las siguientes:

cateto opuesto a a

hipotenusa

sen a =

cateto adyacente a a

hipotenusa

cos a =

cateto opuesto a a

cateto adyacente a

tg a =

También ayudará a resolver problemas, la relación pitagórica o Teorema de Pitágoras, el cual

relaciona las medidas de los 3 lados de un triángulo rectángulo:

cateto2 + cateto2 = hipotenusa2

8 Secretaria Académica Seminario Universitario

ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y ÁNGULO DE DEPRESIÓN

INDICADORES DE LOGRO

Resolverás problemas con confianza,

utilizando el ángulo de elevación.

Resolverás problemas con seguridad,

utilizando el ángulo de depresión.

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

Es el ángulo que se forma entre la visual de un

observador que mira hacia arriba y la

horizontal

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

Es el ángulo que se forma entre la visual de un

observador que mira hacia abajo y la horizontal.

Ángulo

Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).

Un ángulo positivo de 45°

Ángulo de amplitud de 1 grado sexagesimal

En geometría, el ángulo puede ser definido como la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo.[1]

La medida de un ángulo es considerada como la longitud del arco de circunferencia centrada en el vértice y delimitada por sus lados. Su medida es un múltiplo de la razón entre la longitud del arco y el radio. Su unidad natural es el radián, pero también se puede utilizar el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

  1. Forma geométrica: Se le llama «ángulo» a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
  2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación entre dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angula

Se denomina región angular a cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.[2]

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.[2]

Unidades de amplitud

Transportador de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

1  vuelta = 2 π r a d {\displaystyle 1{\text{ vuelta}}=2\pi \;\mathrm {rad} }
1  vuelta = 360 ∘ {\displaystyle 1{\text{ vuelta}}=360^{\circ }}
1  vuelta = 400 g {\displaystyle 1{\text{ vuelta}}=400^{\rm {g}}}

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Tipos de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Tipo Descripción
Ángulo nuloAngulo000.svg Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, es decir, de 0°.
Ángulo agudoAngulo045.svg Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} rad.Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo rectoAngulo090.svg Un ángulo recto es de amplitud igual a π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} rad.Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtusoAngulo135.svg Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} rad y menor a π {\displaystyle \pi \,} rad.Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llanoAngulo180.svg El ángulo llano tiene una amplitud de π {\displaystyle \pi \,} rad.Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo oblicuoAngulo225.svg Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonalAngulo360.svg
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de 2 π {\displaystyle 2\pi \,} rad.Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos coterminales

Les llamamos así a los ángulos que tienen el mismo lado final. Pueden ser en rotación contraria al ángulo dado o con una rotación mayor de 360°.

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]

Tipo Descripción
Ángulo convexo
o salienteAngulo060.svg
Es el que mide menos de π {\displaystyle \pi \,} rad.Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entranteAngulo240.svg
Es el que mide más de π {\displaystyle \pi \,} rad y menos de 2 π {\displaystyle 2\pi \,} rad.Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados

Denominación relativo a su posición:

  • Los ángulos consecutivos son los que comparten un lado y el vértice.
  • Los ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y un lado común, y los otros lados son semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.
  • Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados son las semirrectas opuestas de los lados del otro.

Denominación en función de la suma de su amplitud:

Cuando dos rectas son cortadas por una tercera, se forman las siguientes relaciones distantes:[3]

Secante a dos rectas

  • Los ángulos alternos son aquellos ángulos dispuestos a distinto lado de la recta que corta otras dos pero que no comparten lado.
α {\displaystyle \alpha } o γ {\displaystyle \gamma } es alterno a β ′ {\displaystyle \beta ‘} o a δ ′ {\displaystyle \delta ‘}
β {\displaystyle \beta } o δ {\displaystyle \delta } es alterno a α ′ {\displaystyle \alpha ‘} o a γ ′ {\displaystyle \gamma \,’}
y viceversa.
  • Los ángulo alternos internos son aquellos ángulos comprendidos entre las dos rectas cortadas, pero situados a distinto lado de la recta cortante.
γ {\displaystyle \gamma } es alterno interno a β ′ {\displaystyle \beta ‘}
δ {\displaystyle \delta } es alterno interno a α ′ {\displaystyle \alpha ‘}
  • Los ángulo alternos externos son aquellos ángulos no comprendidos entre las dos rectas cortadas, pero situados a distinto lado de la recta que corta.
α {\displaystyle \alpha } es alterno externo a δ ′ {\displaystyle \delta ‘}
β {\displaystyle \beta } es alterno externo a γ ′ {\displaystyle \gamma \,’}
  • Los ángulos correspondientes son los que están a un mismo lado de la transversal, uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes cuando las rectas cortadas son paralelas.

Ángulos compuestos

Dos ángulos contíguos forman un ángulo compuesto

Son los obtenidos mediante la suma o diferencia de ángulos. En la figura se representan dos sectores circulares contiguos, cada uno con su ángulo, denominados α y ß respectivamente; la unión de los dos sectores tendrá por ángulo la composición, en este caso la suma, α + ß, de los ángulos de los sectores que unimos.

Las razones trigonométricas de los ángulos compuestos están relacionadas con la de los ángulos componentes mediante las fórmulas de razones trigonométricas de ángulos compuestos, ver por ejemplo Identidades trigonométricas.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

  • Ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
  • Ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre esta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de esta.

La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando solo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

  • El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
  • El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales

  • Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores , ⋅ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} mediante la expresión:
( x , y ) = arccos ⁡ x , y ⟩ x ‖ y ‖ , {\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}},}
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

  • Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
  • Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
  • Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} no nulos,
    x − y ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − 2 ‖ x ‖ y ‖ cos ⁡ ( x , y ) {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\|x\|\cdot \|y\|\cdot \cos \angle (x,y)}

Galería de ángulos

Angulo000.svg Angulo015.svg Angulo030.svg Angulo045.svg Angulo060.svg Angulo075.svg
0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\,} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }\,} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }\,} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }\,} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }\,} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }\,}
Angulo090.svg Angulo105.svg Angulo120.svg Angulo135.svg Angulo150.svg Angulo165.svg
90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }\,} 105 ∘ {\displaystyle 105^{\circ }\,} 120 ∘ {\displaystyle 120^{\circ }\,} 135 ∘ {\displaystyle 135^{\circ }\,} 150 ∘ {\displaystyle 150^{\circ }\,} 165 ∘ {\displaystyle 165^{\circ }\,}
Angulo180.svg Angulo195.svg Angulo210.svg Angulo225.svg Angulo240.svg Angulo255.svg
180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }\,} 195 ∘ {\displaystyle 195^{\circ }\,} 210 ∘ {\displaystyle 210^{\circ }\,} 225 ∘ {\displaystyle 225^{\circ }\,} 240 ∘ {\displaystyle 240^{\circ }\,} 255 ∘ {\displaystyle 255^{\circ }\,}
Angulo270.svg Angulo285.svg Angulo300.svg Angulo315.svg Angulo330.svg Angulo345.svg
270 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }\,} 285 ∘ {\displaystyle 285^{\circ }\,} 300 ∘ {\displaystyle 300^{\circ }\,} 315 ∘ {\displaystyle 315^{\circ }\,} 330 ∘ {\displaystyle 330^{\circ }\,} 345 ∘ {\displaystyle 345^{\circ }\,}
Angulo360.svg
360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }\,}

Véase también

Referencias

  1. Saltar a: a b «Ángulos». descartes.cnice.mec.es. Consultado el 17 de octubre de 2010. 
  2. Saltar a: a b Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  3. Diccionario esencial de las ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0. 

Enlaces externos


D. ANGEL ALARCON MARTI

PRESIDENTE / PROFESOR Fundador de la Escuela Internacional de Supervivencia E.O.I.T.

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