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FORMA DE LA TIERRA,

La expresión forma de la Tierra tiene varios significados en geodesia según el uso y la precisión con que se desea definir el tamaño y la figura de la Tierra. La superficie de la Tierra se vuelve más aparente con su variedad de formas de tierra y áreas de agua. Esta es, de hecho, la superficie sobre la cual las medidas modernas se llevan a cabo, sin embargo, no es deseable para propósitos matemáticos, pues el trabajo requerido para tomar en cuenta las irregularidades necesitaría de un número infinito de calculos. La superficie topográfica es generalmente el ámbito de estudio de topógrafos e hidrógrafos.

El concepto pitagórico de una Tierra esférica es solo una teoría y ofrece una superficie simple que es matemáticamente posible de manejar. Muchos cómputos astronómicos y de navegación la utilizan como representación de la Tierra. Mientras que la esfera es una hipótesis de la verdadera forma de la Tierra y satisfactoria para muchos propósitos, para los geodestas interesados en la medición de continentes y océanos que se trasladan largas distancias, se necesitan figuras más precisas. Mejores aproximaciones van desde modelar la forma entera de la Tierra como un esferoide oblato o un elipsoide oblato, hasta el uso de armónicos esféricos o aproximaciones locales en términos de elipsoides de referencia locales. La idea de una superficie plana o lisa para la Tierra, sin embargo, es todavía más aceptable para la descripción de pequeñas áreas, pues la topografía local es más importante que la curvatura. Una ciudad sería modelada como si la Tierra fuese una superficie plana del tamaño de la ciudad. Para tales casos, posiciones exactas pueden determinarse relativamente unas de otras sin considerar el tamaño y la forma de la Tierra entera.

Desde mediados -y hasta finales- del siglo XX, las investigaciones en geociencias contribuyeron con drásticas mejoras en la precisión de la Forma de la Tierra. La utilidad primordial (y la razón de su financiación, básicamente militar) de esta mejora en la precisión fueron los datos geográficos y gravitacionales obtenidos para los sistemas de navegación inercial de misilies balísticos. Esta financiación trajo consigo la expansión de las disciplinas geocientíficas, fomentando la creación y el crecimiento de varios departamentos de geociencias en muchas universidades.[1]

Elipsoide de revolución

Dado que la Tierra está achatada en los polos y abultada en el ecuador, la figura geométrica utilizada en geodesia que más se aproxima a la forma de la Tierra es un esferoide oblato. Un esferoide oblato (o elipsoide oblato) es un elipsoide de revolución obtenido por rotación de una elipse alrededor de su eje más corto. Un esferoide que representa la forma de la Tierra u otro cuerpo celeste recibe el nombre de elipsoide de referencia.

Un elipsoide de revolución queda unívocamente determinado por dos magnitudes -dos dimensiones, o una dimensión y un número representando la diferencia entre las dos dimensiones. Los geodestas, por convención, utilizan el semieje mayor y el achatamiento. El tamaño se representa por el radio en el ecuador -el semieje mayor de la sección de un eclipse y se designa con la letra a {\displaystyle a} . La forma del elipsoide está dada por el achatamiento f {\displaystyle f} , el cual indica cuánto el elipsoide se aleja de la forma esférica. En la práctica, los dos números suelen ser el radio ecuatorial y el recíproco del achatamiento, en lugar del propio achatamiento; para el esferoide WGS84 utilizado por los sistemas GPS modernos, el recíproco del achatamiento está fijado en 298.257223563 exactamente.

La diferencia entre una esfera y un elipsoide de referencia, en el caso de la Tierra, es pequeña, solo una parte en 300. Históricamente, el achatamiento ha sido calculado por gravimetría.[2]​ En la actualidad se utilizan redes geodésicas y geodesia satelital. En la práctica, muchos elipsoides de referencia han sido desarrollados a través de los siglos a partir de diferentes observaciones. El valor del achatamiento varía ligeramente de un elipsoide de referencia a otro, reflejando las condiciones locales y dependiendo de si el elipsiode de referencia modeliza la Tierra entera o solo una porción de ella.

El radio de curvatura de una esfera es simplemente el radio de la esfera. En figuras más complejas, los radios de curvatura varían sobre la superficie. El radio de curvatura describe el radio de la efera que más se aproxima a la superficie en ese punto. Los elipsoides oblatos tienen un radio de curvatura constante del Este al Oeste a lo largo de los paralelos, si una cuadrícula se dibuja sobre la superficie, pero con variaciones de la curvatura en cualquier otra dirección. Para un elipsoide oblato, el radio de curvatura polar r p {\displaystyle r_{p}} es mayor que el ecuatorial

r p = a 2 b , {\displaystyle r_{p}={\frac {a^{2}}{b}},}

dado que el polo está achatado: mientras más achatada la superficie, mayor la esfera que lo aproxima. Inversamente, el radio de curvatura del elipsoide Norte-Sur en el ecuador, r e {\displaystyle r_{e}} , es menor que el polar

r e = b 2 a . {\displaystyle r_{e}={\frac {b^{2}}{a}}.}

Desarrollo histórico

Los modelos de elipsoides de referencia que se listan a continuación han tenido utilidad en la investigación geodésica y muchos de ellos aún son vigentes. Los más antiguos llevan los nombres de los individuos que los calcularon. En 1887 el matemático inglés Col Alexander Ross Clarke CB FRS RE fue condecorado con la Medalla de Oro de la Real Sociedad por su trabajo en la determinación de la forma de la Tierra. El elipsoide internacional desarrollado por John Fillmore Hayford en 1910 fue adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1924, que lo recomendó para su uso internacional.

En la reunión de 1967 de la IUGG llevada a cabo en Lucerna, Suiza, se recomendó adoptar el elipsoide denominado GRS-67 (sistema de referencia geodésico 1967) de la lista. No se recomendó que el nuevo elipsoide sustituyera al elipsoide internacional (1924), pero se abogó por su uso donde una mayor precisión fuera requerida. Fue una parte del GRS-67 que se aprobó y adoptó en la reunión de 1971 del IUGG en Moscú. Es utilizado en Australia por el Australian Geodetic Datum y en Sudamérica por el South American Datum 1969.

El GRS-80 (sistema de referencia geodésico 1980) aprobado y adoptado por el IUGG en la reunión de Canberra, Australia, en 1979, está basado en el radio ecuatorial (semi-eje mayor del elipsoide terrestre) a {\displaystyle a} , masa total G M {\displaystyle GM} , factor de forma dinámica J 2 {\displaystyle J_{2}} y velocidad angular de rotación ω {\displaystyle \omega } , haciendo del achatamiento inverso 1 / f {\displaystyle 1/f} una cantidad derivada. El minuto de diferencia en 1 / f {\displaystyle 1/f} observado entre el GRS-80 y el WGS-84 es resultado del truncamiento no intencional de las constantes definidas: mientras que el WGS-84 fue diseñado para adherir de cerca al GRS-80, incidentalmente el achatamiento derivado del WGS-84 resultó ser ligeramente diferente del de GRS-80, cuyo valor para J2 fue truncado en 8 cifras significativas durante el proceso de normalización.[3]

Un modelo elipsoidal describe únicamente la geometría del elipsoide y la fórmula del campo de gravedad normal asociado. Comúnmente, un modelo elipsoidal forma parte de un datum geodésico acompasado. A modo de ejemplo, el antiguo ED-50 (European Datum 1950) se basa en el elipsoide Hayford (International Ellipsoid). El WGS-84 es peculiar en el sentido que el mismo nombre es utilizado tanto para el sistema geodésico de referencia completo como para su componente de modelo elipsoidal. Sin embargo, ambos conceptos -el modelo elipsoidal y el sistema de referencia geodésico- se tratan por separado.

Elipsoide de referencia Radio ecuatorial (m) Radio polar (m) Achatamiento recíproco Lugar
Maupertuis (1738) 6,397,300 6,363,806.283 191 Francia
Plessis (1817) 6,376,523.0 6,355,862.9333 308.64 Francia
Everest (1830) 6,377,299.365 6,356,098.359 300.80172554 India
Everest 1830 modificado (1967) 6,377,304.063 6,356,103.0390 300.8017 Malasia Peninsular, Singapur
Everest 1830 (definición 1967) 6,377,298.556 6,356,097.550 300.8017 Brunéi, Malasia Peninsular
Airy (1830) 6,377,563.396 6,356,256.909 299.3249646 Bretaña
Bessel (1841) 6,377,397.155 6,356,078.963 299.1528128 Europa, Japón
Clarke (1866) 6,378,206.4 6,356,583.8 294.9786982 Norteamérica
Clarke (1878) 6,378,190 6,356,456 293.4659980 Norteamérica
Clarke (1880) 6,378,249.145 6,356,514.870 293.465 Francia, África
Helmert (1906) 6,378,200 6,356,818.17 298.3
Hayford (1910) 6,378,388 6,356,911.946 297 USA
Internacional (1924) 6,378,388 6,356,911.946 297 Europa
NAD 27 (1927) 6,378,206.4 6,356,583.800 294.978698208 Norteamérica
Krassovsky (1940) 6,378,245 6,356,863.019 298.3 USSR
WGS66 (1966) 6,378,145 6,356,759.769 298.25 USA/DoD
Nacional de Australia (1966) 6,378,160 6,356,774.719 298.25 Australia
Nuevo Internacional (1967) 6,378,157.5 6,356,772.2 298.24961539
GRS-67 (1967) 6,378,160 6,356,774.516 298.247167427
Sudamericano (1969) 6,378,160 6,356,774.719 298.25 Sudamérica
WGS-72 (1972) 6,378,135 6,356,750.52 298.26 USA/DoD
GRS-80 (1979) 6,378,137 6,356,752.3141 298.257222101 ITRS global[4]
WGS-84 (1984) 6,378,137 6,356,752.3142 298.257223563 GPS global
IERS (1989) 6,378,136 6,356,751.302 298.257
IERS (2003)[5] 6,378,136.6 6,356,751.9 298.25642 [4]

Nota: un mismo elipsoide puede ser conocido bajo distintos nombres, por lo que se recomienda mencionar las constantes de definición para evitar ambigüedades.

Véase también

La forma de la Tierra

La dirección de la plomadaCálculo de la aceleración de la gravedad en el polo

Una superficie equipotencial

Fórmula internacional de la aceleración de la gravedad (1967)

Referencias

 

La forma de la Tierra y de los otros planetas no es la de una esfera sino la de esferoide achatado por los polos debido al movimiento de rotación alrededor de sus ejes. En esta página, se establece la relación entre los radios ecuatorial y polar por dos procedimientos distintos.

 

La dirección de la plomada

Debido a la rotación de la Tierra, la dirección radial no coincide con la dirección vertical, o con la dirección de la plomada, que es una cuerda de la que pende un trozo de plomo que utilizan los albañiles para comprobar la verticalidad de las paredes que construyen.

 

La Tierra considerada como una esfera de radio R.

Supongamos una masa puntual m que cuelga de una cuerda, situada en un lugar del hemisferio norte cuya latitud es λ. La Tierra gira sobre su eje con velocidad angular constante ω. La partícula describe una circunferencia de radio R·cos λ,  siendo R el radio de la Tierra para un observador inercial

La resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula deberá se igual al producto de la masa por la aceleración normal an=ω2R·cos λ, y estará dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe la partícula.

Las fuerzas  que actúan sobre la partícula son:

  • La fuerza de atracción de la Tierra, que tiene dirección radial y está dirigida hacia su centro, y cuyo módulo es
  • La tensión T de la cuerda que sujeta a la partícula, y que forma un ángulo φ con la dirección radial, tal como se aprecia en la figura.

La partícula está en equilibrio a lo largo del eje Y.

T·sen(λ+φ)-mg0·senλ=0

La partícula tiene una aceleración an a lo largo del eje X.

Tcos(λ+φ)- mg0·cosλ=-mω2R·cos λ

Eliminando T en el sistema de dos ecuaciones, obtenemos

(1)

donde hemos tomado R=6.37·106 m, ω=2π/(23.93·60·60) rad/s, y g0=9.81 m/s2

Después de algunas operaciones trigonométricas, despejamos el ángulo φ que forma la plomada con la dirección radial

Como α es pequeño frente a la unidad, y el ángulo φ es pequeño podemos escribir

A la latitud correspondiente al norte de España, algo más de λ=43º, tenemos que φ=0.099º.

La forma de la Tierra

La dirección de la plomada es la misma que la de la aceleración de la gravedad efectiva g. La forma de la superficie de Tierra será tal que sea perpendicular a g en cada uno de sus puntos.

La tangente a la superficie de la Tierra en un punto de latitud λ es perpendicular a la dirección de la plomada o dirección vertical en dicho punto. Recordando que la pendiente de la tangente a una curva y=f(x) en x0 es el valor de la derivada dy/dx de la función en dicho punto. Como vemos en la parte izquierda de la figura

En la parte derecha de la figura, tenemos que tanλ=y/x

A partir de la expresión (1), obtenemos la ecuación diferencial que describe la forma de la superficie de la Tierra

Integramos esta ecuación

(1-α)x2+y2=c

donde c es una constante de integración. Determinamos los radios ecuatorial a, y polar b teniendo en cuanta que para y=0, x=a, y para x=0, y=b.

La ecuación de la superficie de la Tierra es la de una elipse

El aplastamiento de la Tierra es el cociente

Los valores medidos de los dos radios ecuatorial y polar de la Tierra son respectivamente.

a=6 378 137 m, b=6 356 752 m

lo que da un aplastamiento de f=3.35·10-3 que es aproximadamente el doble que el que hemos obtenido anteriormente.

Para explicar la discrepancia se ha de tener en cuenta que la ley de la Gravitación Universal

se aplica a dos masas puntuales M y m separadas una distancia r, o a una distribución esférica de masa M y una partícula de masa m situada a una distancia r mayor que el radio de la esfera. En el caso de que el cuerpo sea de una forma distinta a una esfera, hay que calcular la fuerza que produce cada uno de los elementos de volumen del cuerpo extenso sobre la partícula considerada, las componentes de dichas fuerzas y la resultante, como veremos en el siguiente apartado.

Para una Tierra con forma de esferoide, se desarrolla la energía potencial gravitatoria en armónicos esféricos (véase referencia 1), para calcular g0 en función de la latitud λ y el ángulo que forma con la dirección radial.

 

Cálculo de la aceleración de la gravedad en el polo

La aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r de la masa puntual M se define como la fuerza sobre la unidad de masa.

g=Fg/m

En este apartado, mostraremos la dificultad que presenta el cálculo de la aceleración de la gravedad g en el polo producida por una distribución uniforme de masa en forma de elipsoide de revolución de semiejes horizontal a, y vertical b, siendo a>b.

Si Z es el eje que pasa por los polos, por simetría la aceleración de la gravedad en el polo tendrá la dirección del eje Z y sentido hacia el centro del elipsoide.

Para calcular su módulo g, dividamos el elipsoide en discos de radio y y de espesor dz. Calculemos la intensidad del campo gravitatorio en el punto de coordenadas (0, 0, b) producido por cada uno de los discos

El primer paso, consiste en calcular el campo producido por el anillo de radio x de anchura dx y de espesor dz en el polo, en un punto situado en el eje Z a una distancia b-z de dicho anillo.

Sea ρ es la densidad constante de la distribución uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·x·dx·dz. El campo producido por esta masa es

Por simetría, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de dicho campo se anulan de dos en dos, (flechas de color rojo en la figura del centro) quedando solamente la componente Z

Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular el campo total producido por el disco de radio y y de espesor dz.

Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites –b y b La ecuación del elipse de semiejes a y b es

La aceleración de la gravedad en el polo se obtendrá integrando

Dejamos al lector la resolución de esta integral.

 

Una superficie equipotencial

Un objeto situado sobre la superficie de la Tierra a una latitud λ, describe un movimiento circular de radio x=r·cosλ tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre dicho objeto desde el punto de vista de un observador no inercial que se mueve con la Tierra son:

  • La fuerza de atracción gravitatoria, Fg que tiene dirección radial, y sentido hacia el centro de la Tierra y vale

siendo r la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra, M la masa de la Tierra y G la constante de la gravitación..

  • La fuerza centrífuga, Fc dirigida a lo largo del radio de la circunferencia que describe, y sentido hacia afuera.

Fc=mω2x

siendo ω la velocidad angular constante de rotación de la Tierra.

La resultante de ambas fuerzas es la tensión T de la cuerda que sujeta la partícula de masa m.

Fuerzas conservativas. Energías potenciales

La fuerza de atracción Fg es conservativa y su energía potencial es

De nuevo, se supone que la Tierra es aproximadamente esférica, y no se tiene en cuenta el abultamiento producido en el ecuador como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra.

La fuerza centrífuga depende únicamente de la distancia x al eje de rotación es por tanto, una fuerza conservativa, cuya energía potencial es

Tomando el nivel cero de la energía potencial en el eje de rotación x=0.

La energía potencial total es la suma de ambas contribuciones

La forma de la Tierra es la de una superficie equipotencial, ya que la dirección vertical o la dirección de la intensidad de la gravedad efectiva g es perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto de dicha superficie.

Sea r=b, cuando λ=π/2, la energía potencial vale Ep=-GMm/b. Así que el valor de b determina la superficie equipotencial que describe la forma de la superficie de la Tierra.

Esta no es la ecuación de una elipse, pero puede aproximarse a ésta suponiendo que a es un poco mayor que b.

Sea r=a, cuando λ=0. La raíz de la ecuación cúbica determina a en función de b, G, M y ω.

Conocido b podemos hallar a empleando un procedimiento de cálculo numérico.

En la siguiente tabla, se proporcionan los datos relativos a la masa en kg, periodo de rotación en horas, y los valores de los radios a (ecuatorial) y b (polar) de algunos planetas del Sistema Solar.

Planeta Masa (kg) Periodo (h) b observado (m) a observado (m)
Tierra 0.598·1025 23.93 6.356·106 6.378·106
Marte 0.0658·1025 24.62 3.40·106 3.417·106
Júpiter 190·1025 9.9 66.93·106 71.35·106
Saturno 57·1025 10.2 54.60·106 60.40·106
Urano 9·1025 10.8 22.37·106 23.80·106
Neptuno 10·1025 15.8 21.76·106 22.20·106

Fuente: segundo artículo citado en la referencia 2

Con el dato de G=6.67·10-11 Nm2/kg2. Para la Tierra, la velocidad angular de rotación es

Para facilitar el cálculo en el ordenador, expresamos la distancia en unidades de106 m. La ecuación que nos permite calcular a a partir del valor observado de b=6.356 es

a3-23594.12a+149964.23=0

Para calcular las raíces de esta ecuación cúbica sugerimos dos procedimientos:

Raíces de una ecuación cúbica

x3+ax2+bx+c=0

a=0, b=-23594.12, c=149964.23

Se calcula

Si R2<Q3 como este es el caso, se calcula

 

Las raíces de la ecuación cúbica son:

Véase Numerical Recipes in C: The art of scientific computing. Cambridge University Press (1988-1992), pp. 183-185.

Procedimiento iterativo 

Esta ecuación se puede transformar en esta otra equivalente

para hallar la raíz por el método de iteración partiendo de un valor inicial próximo a b, obteniendo el valor a=6.367.

Este pequeño programa hecho en Java calcula el radio ecuatorial a de la Tierra por el método de iteración. Véase Curso de Procedimientos Numéricos en Lenguaje Java

public class Planeta{   public static void main(String[] args) {         System.out.println(raiz(6.0));     }   static double raiz(double x0){         double x1;         while(true){             x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12;             if(Math.abs(x1-x0)<0.001)   break;             x0=x1;         }         return x0;    } }

Fórmula internacional de la aceleración de la gravedad (1967)

La aceleración de la gravedad a nivel del mar para una latitud λ está dada por la fórmula

g=9.780 318·(1+0.005 302 4·sen2λ-0.000 005 9· sen22λ) m/s2

Esta fórmula tiene en cuenta la rotación de la Tierra y que la Tierra no es una esfera perfecta, sino que está achatada en los polos.

Cuando nos elevamos una altura h sobre el nivel del mar hay que introducir una corrección, que disminuye el valor de g a nivel del mar.

donde g0=9.832 m/s2 es la aceleración de la gravedad a nivel del mar en los polos, R=6371 km es el radio medio de la Tierra.

Δg= 3.086·10-6 ·h m/s2

Hay otros términos correctores que tienen en cuenta si el terreno que rodea a la localidad de observación es montañoso o plano. Véase la página 831 del artículo (Nelson, 1981)

Referencias

Mohazzabi P, James M. Plumb line and the shape of the earth. Am. J. Phys. 68 (11) November 2000, pp. 1038-1041

Bolemon. Shape of the rotating planets and the Sun: A calculation for elementary mechanics. Am. J. Phys. 44 (11) November 1976, pp. 1125-1128.Iona M. Why is g larger at the poles?. Am. J. Phys. 46 (8) August 1978, pp. 790-791.

Nelson R. A. Determination of the acceleration due to gravity with the Cenco-Behr free-fall apparatus. Am. J. Phys. 49 (9) September 1981, pp. 829-833

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Notas y referencias

  1. Cloud, John (2000). «Crossing the Olentangy River: The Figure of the Earth and the Military-Industrial-Academic Complex, 1947–1972». Studies in the History and Philosophy of Modern Physics31 (3): 371-404.
  2. La diferencia en latitud astronómica entre dos puntos del mismo meridiano, cuya distancia métrica es conocida.
  3. NIMA Technical Report TR8350.2, «Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships With Local Geodetic Systems», Third Edition, 4 July 1997 [1]
  4. Saltar a: ab Notar que las mejores estimaciones actuales, dadas por las Convenciones del IERS, «no deben tomarse por valores convencionales, como los del Sistema de Referencia Geodésico GRS80 … que son utilizados, por ejemplo, para expresar coordenadas geográficas» (chap. 1); notar además que «las soluciones ITRF se especifican en coordenadas cartesianas ecuatoriales X, Y y Z. De ser necesario, pueden transformarse en coordenadas geográficas (λ, φ, h) referidas a un elipsoide. En este caso, se recomienda el elipsoide GRS80.» (chap. 4).
  5. IERS Conventions (2003) (Chp. 1, page 12)

Enlaces externos


D. ANGEL ALARCON MARTI

PRESIDENTE / PROFESOR Fundador de la Escuela Internacional de Supervivencia E.O.I.T.

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