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UNIDADES LINEALES TOPOGRAFIA. GEOMETRICAS DE MEDIDA, ESCALAS.

Unidad de medida

Copia exacta, hecha en 1884, del kilogramo prototipo internacional registrada en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Sèvres, Francia, que define la unidad de masa en el SI, el sistema métrico moderno.

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley.[1]​ Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida.

Una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Las primeras unidades se conocen como unidades básicas o de base (fundamentales), mientras que las segundas se llaman unidades derivadas.[2]

Un conjunto de unidades de medida en el que ninguna magnitud tenga más de una unidad asociada es denominado sistema de unidades.[3]

Todas las unidades denotan cantidades escalares. En el caso de las magnitudes vectoriales, se interpreta que cada uno de los componentes está expresado en la unidad indicada.[1]

Historia

Las unidades de medida estuvieron entre las primeras herramientas inventadas por los seres humanos. Las sociedades primitivas necesitaron medidas rudimentarias para muchas tareas: la construcción de moradas, la confección de ropa o la preparación de alimentos y materias primas.

Los sistemas de pesos y medidas más antiguos que se conocen parecen haber sido creados entre el cuarto milenio y el tercero antes de Cristo, entre los antiguos pueblos de Mesopotamia, Egipto y el valle del Indo, y quizás también en Elam y Persia. Los pesos y las medidas se mencionan asimismo en la Biblia (Lev. 19, 35-26) como un mandato que exige honestidad y medidas justas.

Muchos sistemas de medición estuvieron basados en el uso de las partes del cuerpo humano y los alrededores naturales como instrumentos de medición.[4]

Sistemas tradicionales de medidas

Los sistemas tradicionales basan sus unidades de medición de distancia en las dimensiones del cuerpo humano. La pulgada representa el ancho de un pulgar, de donde toma su nombre. El pie representaba originalmente la longitud de un pie humano aunque esta unidad se transformó con el tiempo en el equivalente a 12 pulgadas en el sistema anglosajón. La yarda, por otro lado, representa la longitud desde la punta de la nariz hasta la punta del dedo medio. Una braza correspondía a la distancia de punta a punta de los dedos medios con los brazos extendidos. Otras unidades eran el palmo (la longitud de la palma de la mano) y el codo (aproximadamente la longitud del antebrazo).[5]​ Para distancias mayores, existía la milla, unidad de medida creada en la antigua Roma que equivalía originalmente a 2000 pasos de una legión. Sobre la base de la milla, los romanos definieron el estadio de tal forma que ocho estadios correspondían a una milla.[5]​ Asimismo, la legua en la antigua Roma equivalía a aproximadamente una milla y media.[6]

En la mayoría de los países europeos se utilizaban medidas de peso basadas en la libra. Esta unidad, cuyo nombre proviene del latín libra pondo, se dividía en doce onzas (del latín uncia, que significa ‘doceava parte’).[7][8]​ Sin embargo, en algunos países durante la Edad Media se utilizaron libras que se dividían en 16 onzas. Otra unidad tradicional de peso era el grano, que en el sistema inglés actual equivale a 64,79891 mg. A partir de esta unidad, la libra se definía como 5760 granos en algunos caso o como 7000 granos en otros casos. Asimismo, en joyería se usa una unidad llamada grano métrico, que equivale a 0,25 quilates o 50 mg.[9]​ En la Península Ibérica, un quintal equivalía a 100 libras (lo que actualmente serían unos 46 kg);[10]​ la cuarta parte de un quintal se denominaba una arroba (del árabe ar rub’, ‘cuarta parte’).[11]

Los movimientos del Sol y de la Luna determinaron las unidades tradicionales de tiempo. El movimiento aparente del Sol desde su salida en el horizonte hasta la siguiente, su puesta hasta la siguiente o los sucesivos pasos por un meridiano, dependiendo de la cultura, definieron el día.[12]​ Los babilonios dividieron el tiempo entre la salida y la puesta del Sol en doce partes que conocemos ahora como horas. Con la invención de los relojes mecánicos fue posible dividir también la noche, por lo que actualmente un día completo se compone de 24 horas. Una hora se dividió en 60 minutos y estos, a su vez, quedaron divididos en 60 segundos (no obstante, el segundo actual tiene una definición moderna independiente de la definición del día).[13]​ De la religión judía, las naciones cristianas y musulmanas heredaron la definición de semana: un período de siete días.[14]​ Por otra parte, el movimiento del Sol observado con respecto a las estrellas lejanas definió el año. Puesto que el período de traslación de la Tierra no es un número entero de días, existió la necesidad de introducir el año bisiesto en el calendario juliano y el calendario gregoriano.[15]​ A partir del año se definieron unidades más grandes de tiempo como el siglo (cien años) y el milenio (mil años). El periodo de traslación de la Luna alrededor de la Tierra definió el concepto del mes. Puesto que este periodo no corresponde a un número entero de días, diversas culturas tuvieron diferentes definiciones de mes. En el actual calendario occidental, los meses pueden durar 28, 29, 30 o 31 días, dependiendo del caso.[16]

Sistema Internacional de Unidades (SI)[editar]

El Sistema Internacional de Unidades es la forma actual del Sistema Métrico Decimal y establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacional de Pesas y Medidas con sede en Francia. En él se establecen 7 magnitudes fundamentales, con los patrones para medirlas:[17]

  1. Longitud
  2. Masa
  3. Tiempo
  4. Intensidad eléctrica
  5. Temperatura
  6. Intensidad luminosa
  7. Cantidad de sustancia

También establece muchas magnitudes derivadas, que no necesitan de un patrón, por estar compuestas de magnitudes fundamentales.[17]

Patrón de medida[editar]

Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medir magnitudes. Muchas unidades tienen patrones, pero en el Sistema Internacional solo las unidades básicas tienen patrones de medidas. Los patrones nunca varían su valor, aunque han ido evolucionando porque los anteriores establecidos eran variables y se establecieron otros diferentes considerados invariables.[17]

Un ejemplo de un patrón de medida sería: «Patrón del segundo: Un segundo es la duración de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a una temperatura de 0 K».[18]

De todos los patrones del Sistema Internacional, solo existe la muestra material de uno: el kilogramo, conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. De ese patrón se han hecho varias copias para distintos países.[19]

Los siete patrones definidos por el Sistema Internacional de Unidades son:[17]

  1. Segundo
  2. Metro
  3. Amperio
  4. Mol
  5. Kilogramo
  6. Kelvin
  7. Candela
(tiempo)
(longitud)
(intensidad de corriente eléctrica)
(cantidad de sustancia)
(masa)
(temperatura)
(intensidad luminosa)

Sistema Cegesimal[editar]

Asociado al Sistema Internacional se encuentra el Sistema Cegesimal (o sistema CGS) que es un sistema de unidades mecánicas (es decir, unidades que miden magnitudes utilizadas en mecánica: longitud, masa, tiempo y sus derivadas) basado en tres unidades fundamentales que son submútiplos de unidades del SI: el centímetro, el gramo y el segundo.[20]​ El sistema CGS a veces es extendido a magnitudes no mecánicas, como las empleadas en electromagnetismo, combinando el uso de las unidades gaussianas (véase más adelante, unidades naturales en electromagnetismo).[21]

Sistemas naturales de unidades[editar]

En algunas disciplinas es conveniente definir sistemas de unidades que permiten simplificar los cálculos y las mediciones. Estos sistemas definen sus unidades a partir de magnitudes que ocurren de manera frecuente en la naturaleza. Entre las disciplinas donde ocurre esto están la astronomía, el electromagnetismo, la física de partículas y la física atómica.

En astronomía[editar]

En astronomía es muy común encontrar unidades definidas a partir de magnitudes física de ciertos objetos. Diferentes unidades de longitud están definidas a partir de distancias astronómicas:[22]

  • Unidad astronómica (AU), definida originalmente como la distancia media desde el Sol a la Tierra (actualmente fijada en 149 597 870 700 m).[23]
  • Pársec (PC), definido como la distancia a la cual una unidad astronómica subtiende un ángulo de 1 segundo de arco.
  • Año luz (AL), definido como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un año.

Es muy común el uso de las magnitudes físicas del Sol para definir unidades que, de otra manera, serían extremadamente grandes:[24]

Otras unidades naturales empleadas en astronomía, aunque menos frecuentemente son el radio terrestre, la masa terrestre, la masa de Júpiter, etc.

En física cuántica y relativista[editar]

En las diferentes subdisciplinas de la física que utilizan los modelos relativistas y cuánticos, como la física atómica, la física nuclear, la física de partículas, etc., es común definir sistemas de unidades donde las diferentes constantes fundamentales toman el valor de la unidad. Las constantes que se suelen establecer iguales a uno son: la constante de Planck reducida (ħ), la velocidad de la luz (c), la constante de gravitación universal (G), la constante de Boltzmann (kB), la carga del electrón (e), la masa del electrón (me) y la masa del protón (mp).[25][26][27][28][29]​ Otras elecciones comunes son definir ciertas cantidades en términos de la constante de estructura fina (α):[27][28]

= 1 α  o  c = 1 α {\displaystyle \hbar ={\frac {1}{\alpha }}{\text{ o }}c={\frac {1}{\alpha }}} .

Otra unidad comúnmente utilizada como unidad de energía es el electronvoltio (eV) definido como la cantidad de energía adquirida por un electrón al acelerarse en una diferencia de potencial de un voltio. Es decir, en unidades del SI esto es 1,602176462 × 10−19 J.[30]

En la siguiente tabla se resumen las definiciones comunes para diferentes sistemas de unidades.

Cantidad y Símbolo / Sistema de unidades Planck
(con unidades gaussianas)
Stoney Hartree Rydberg «Natural»
(con unidades de Lorentz–Heaviside)
«Natural»
(con unidades gaussianas)
Velocidad de la luz en el vacío
c {\displaystyle c\,}
1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 α   {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\ } 2 α   {\displaystyle {\frac {2}{\alpha }}\ } 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,}
Constante de Planck reducida
= h 2 π {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}
1 {\displaystyle 1\,} 1 α   {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\ } 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,}
Carga del electrón
e {\displaystyle e\,}
α {\displaystyle {\sqrt {\alpha }}\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}\,} 4 π α {\displaystyle {\sqrt {4\pi \alpha }}} α {\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}
Constante de Josephson
K J = e π {\displaystyle K_{\text{J}}={\frac {e}{\pi \hbar }}\,}
α π {\displaystyle {\frac {\sqrt {\alpha }}{\pi }}\,} α π {\displaystyle {\frac {\alpha }{\pi }}\,} 1 π {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\,} 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\pi }}\,} 4 α π {\displaystyle {\sqrt {\frac {4\alpha }{\pi }}}\,} α π {\displaystyle {\frac {\sqrt {\alpha }}{\pi }}\,}
Cosntante de von Klitzing
R K = 2 π e 2 {\displaystyle R_{\text{K}}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}\,}
2 π α {\displaystyle {\frac {2\pi }{\alpha }}\,} 2 π α {\displaystyle {\frac {2\pi }{\alpha }}\,} 2 π {\displaystyle 2\pi \,} π {\displaystyle \pi \,} 1 2 α {\displaystyle {\frac {1}{2\alpha }}} 2 π α {\displaystyle {\frac {2\pi }{\alpha }}}
Constante de gravitación universal
G {\displaystyle G\,}
1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} α G α {\displaystyle {\frac {\alpha _{\text{G}}}{\alpha }}\,} 8 α G α {\displaystyle {\frac {8\alpha _{\text{G}}}{\alpha }}\,} α G m e 2 {\displaystyle {\frac {\alpha _{\text{G}}}{{m_{\text{e}}}^{2}}}\,} α G m e 2 {\displaystyle {\frac {\alpha _{\text{G}}}{{m_{\text{e}}}^{2}}}\,}
Constante de Boltzmann
k B {\displaystyle k_{\text{B}}\,}
1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 {\displaystyle 1\,}
Masa del electrón
m e {\displaystyle m_{\text{e}}\,}
α G {\displaystyle {\sqrt {\alpha _{\text{G}}}}\,} α G α {\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha _{\text{G}}}{\alpha }}}\,} 1 {\displaystyle 1\,} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,} 511  keV {\displaystyle 511{\text{ keV}}} 511  keV {\displaystyle 511{\text{ keV}}}

En electromagnetism

En electromagnetismo es posible definir un sistema de unidades natural a partir de la ley de Coulomb, que permite calcular la fuerza ejercida entre dos cargas eléctricas q 1 {\displaystyle q_{1}} y q 2 {\displaystyle q_{2}} en función de la distancia r {\displaystyle r} que separa a dichas cargas:[31]

| F | = K q 1 q 2 r 2 . {\displaystyle |\mathbf {F} |=K{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}.}

K {\displaystyle K} es una constante cuyo valor depende del sistema de unidades elegido (en el SI, tiene un valor aproximado de 9 × 109 N m2 C−2). En este sistema de unidades natural —conocido como sistema gaussiano de unidades— se escoge el valor de dicha constante igual a la unidad.[31]​ De esta manera, dos cargas eléctricas de 1 statC (statcoulomb, la unidad de carga eléctrica definida en este sistema de unidades) de magnitud separadas una distancia de 1 cm sienten una fuerza de 1 dyn de magnitud. A partir de esto se pueden definir otras unidades como el statamperio (1 statC/s), etc. Las unidades del sistema gaussiano en muchas ocasiones son consideradas como parte del sistema CGS.[31]

Tablas de conversión

Las unidades del SI no han sido adoptadas en el mundo entero. Los países anglosajones utilizan muchas unidades del SI, pero todavía emplean unidades propias de su cultura, como el pie, la libra, la milla, etc.[32]​ En Estados Unidos, el SI no es utilizado cotidianamente fuera del ámbito de la ciencia y la medicina.[33]

En la navegación todavía se usan la milla y la legua náuticas.[34][6]​ En las industrias del mundo todavía se utilizan unidades como: PSI, BTU, galones por minuto, granos por galón, barriles de petróleo, etc. Por eso todavía son necesarias las tablas de conversión, que convierten el valor de una unidad al valor de otra unidad de la misma magnitud.[35]​ Ejemplo: Con una tabla de conversión se convierten 5 p a su valor correspondiente en metros, que sería de 1,524′ m.[36]

Errores de conversion

Al convertir unidades se cometen inexactitudes, porque a veces, el valor convertido no equivale exactamente a la unidad original, debido a que el valor del factor de conversión puede ser inexacto.

Ejemplo: 5 lb son aproximadamente 2,268 kg, porque el factor de conversión indica que 1 lb vale aproximadamente 0,4536 kg. No obstante, 5 lb equivalen a 2,26796185 kg, porque el factor de conversión ha sido definido de tal manera que 1 lb equivale exactamente a 0,45359237 kg.[7]

Sin embargo, la conversión de unidades es usada frecuentemente pues, en general, basta tener valores aproximados.[37]

Tipos de unidades de medidas

Dependiendo de las magnitudes físicas que se requieran medir, se utilizan diferentes tipos de unidades de medida. Entre estos podemos mencionar los siguientes tipos:

  1. Unidades de capacidad
  2. Unidades de densidad
  3. Unidades de energía
  4. Unidades de fuerza
  5. Unidades de longitud
  6. Unidades de masa
  7. Unidades de peso específico
  8. Unidades de potencia
  9. Unidades de superficie
  10. Unidades de temperatura
  11. Unidades de tiempo
  12. Unidades de velocidad
  13. Unidades de viscosidad
  14. Unidades de volumen
  15. Unidades eléctricas

Símbolos

Muchas unidades tienen un símbolo asociado, normalmente formado por una o varias letras del alfabeto latino o griego (por ejemplo «m» simboliza «metro»). Este símbolo se ubica a la derecha de un factor que expresa cuántas veces dicha cantidad se encuentra representada (por ejemplo «5 m» quiere decir «cinco metros»).

Es común referirse a un múltiplo o submúltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un prefijo delante del símbolo que la identifica (por ejemplo «km», símbolo de «kilómetro», equivale a «1.000 metros»).

Siguiendo otro ejemplo una medida concreta de la magnitud «tiempo» podría ser expresada por la unidad «segundo», junto a su submúltiplo «mili» y su número de unidades (12). De forma abreviada: t = 12 ms (los símbolos de magnitudes se suelen expresar en cursiva, mientras que los de unidades se suelen expresar en letra redonda).[38]

Factores de conversión de unidades[editar]

Algunos factores de conversión entre sistemas de unidades comunes y el Sistema Internacional son:[39]

  • Tiempo
    • 1 h = 60 min = 3600 s
    • 1 min = 60 s
    • 1 día = 24 h = 1.440 min
  • Longitud
    • 1 m = 100 cm = 39.4 in = 3.28 ft
    • 1 ft = 12 in = 0.305 m
    • 1 km = 1000 m = 0.621 mi
    • 1 mi = 5280 ft = 1609 m
    • 1 yarda = 0.915 m
  • Presión
    • 1 pascal = 1 N/m² = 2.09×10-2 lb/ft² = 1.45×10-4 lb/in²
    • 1 atm = 1.013×105 Pa = 14.7 lb/in² (PSI) = 760 mm Hg

Véase también

Referencias

  1. Saltar a: a b JCGM (2008), «Unit of measurement (unité de mesure)», p. 6.
  2. JCGM (2008), «Base unit – Derived unit (Unité de base – Unité dérivée)», p. 7
  3. JCGM (2008), «System of units (Système d’unités)», p. 8.
  4. NASA Technical Standards Program. «A Brief History of Measurement Systems» (pdf) (en inglés). Archivado desde el original el 19 de octubre de 2013. Consultado el 6 de mayo de 2014. 
  5. Saltar a: a b Rowlett (2001), «The English Customary Systems».
  6. Saltar a: a b Rowlett (2001), «League».
  7. Saltar a: a b Rowlett (2001), «pound (lb, lbm, or #)».
  8. Rowlett (2001), «ounce (oz or oz av)».
  9. Rowlett (2001), «grain (gr)».
  10. Rowlet (2001), «quintal (q)».
  11. Rowlett (2001), «arroba (@)».
  12. Rowlett (2001), «day».
  13. Rowlett (2001), hour «(h or hr)».
  14. Rowlett (2001), «week (wk)».
  15. Rowlett (2001), «year (a or y or yr)».
  16. Rowlett (2001), «month (mo or mon)».
  17. Saltar a: a b c d Resnick (1993), p. 2.
  18. Resnick (1993), p. 5.
  19. Resnick (1993), pp. 7 y 8.
  20. Bureau International des Poids et Mesures – The International System of Mesures, p. 109.
  21. Bureau International des Poids et Mesures – The International System of Mesures, p. 128.
  22. International Astronomical Union. «Measuring the Universe: The IAU and Astronomical Units» (en inglés). Consultado el 19 de mayo de 2014. 
  23. International Astronomical Union (31 de agosto de 2012). «RESOLUTION B2 on the re-definition of the astronomical unit of length». Pekín. Consultado el 22 de septiembre de 2012. 
  24. Zombeck, Martin V. (2006). Handbook of Space Astronomy and Astrophysics (en inglés) (3.ª edición). Cambrige University Press. p. 25. ISBN 9780521782425. 
  25. Gauge field theories: an introduction with applications, Guidry, Apéndice A.
  26. An introduction to cosmology and particle physics, Domínguez-Tenreiro y Quirós, p. 422.
  27. Saltar a: a b Ray, T.P. (1981). «Stoney’s Fundamental Units». Irish Astronomical Journal 15: 152. Bibcode:1981IrAJ…15..152R. 
  28. Saltar a: a b Turek, Ilja (1997). Electronic structure of disordered alloys, surfaces and interfaces (illustrated edición). Springer. p. 3. ISBN 978-0-7923-9798-4. 
  29. Wilczek, Frank, 2007, «Fundamental Constants»,
  30. Bureau International des Poids et Mesures. «Non-SI units accepted for use with the SI, and units based on fundamental constants» (en inglés). Archivado desde el original el 4 de diciembre de 2004. Consultado el 27 de mayo de 2014. 
  31. Saltar a: a b c Griffiths, D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3.ª edición). Prentice Hall. p. xv. ISBN 0-13-805326-X. 
  32. Resnick (1993), p. 3.
  33. Central Intelligence Agency (ed.). «Appendix G : Weights and Measures». The World Factbook (en inglés). Consultado el 3 de septiembre de 2011. 
  34. Rowlett (2001), «nautical mile (nmi, naut mi, n mile, or NM)».
  35. Rowlett (2001), «avoirdupois weights».
  36. Resnick (1993), p. A-10.
  37. Resnick (1993), p. 8.
  38. Bureau International des Poids et Mesures, Organisation Intergouvernamentale de la Convention du Mètre (2006) «The International System of Units» (en inglés), pp. 130-135. Consultado el 19 de mayo de 2014.
  39. A. Lewis Ford, Roger A. Freedman (2005). Física universitaria con física moderna. p. A-6. ISBN 9702606721. 

Bibliografía.

Enlaces externos

UNIDAD I

UNIDAD I. Unidades de Medidas

 1.1 Unidad de longitud

Las unidades lineales se utilizan para la medición de longitudes y elevaciones (distancias horizontales o inclinadas y distancias verticales) utilizan el sistema métrico conocido como el sistema internacional de unidades o simplemente SI, el cual se basa en el sistema decimal (múltiplos de 10) y la unidad base es el metro.

La longitud es una magnitud creada para medir la distancia entre dos puntos. Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal e invariable. El sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus múltiplos y submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal.

Este sistema de medidas se estableció en Francia con el fin de solventar los dos grandes inconvenientes que presentaban las antiguas medidas:

  1. Unidades con el mismo nombre variaban de una provincia a otra
  2. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones para el cálculo.

Se trataba de crear un sistema simple y único de medidas que pudiese reproducirse con exactitud en cualquier momento y en cualquier lugar, con medios disponibles para cualquier persona.

En 1795 se instituyó en Francia el Sistema Métrico Decimal. En España fue declarado obligatorio en 1849.

El Sistema Métrico se basa en la unidad “el metro” con múltiplos y submúltiplos decimales. Del metro se deriva el metro cuadrado, el metro cúbico, y el kilogramo que era la masa de un decímetro cúbico de agua.

La unidad de longitud es el metro, que se define prácticamente como la que adquiere a cero grados centígrados una regla de platino o iridio, denominada metro de los archivos, que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Breteuil, en París.

            La definición práctica de metro que se ha indicado ha sido sustituida por otra más científica, por la XI Conferencia General de Pesos y Medidas celebrada en París en 1960, en la que se dio al metro la siguiente definición que es hoy la adoptada oficialmente:

            “El metro es igual a 1.650.763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de criptón 86”.

“El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo”.

            Si la CGPM hubiera tenido lugar un año después, el rayo láser podría haberse utilizado para fijar la norma en vez de la luz del criptón.

            En topografía se emplea de preferencia el metro con sus múltiplos y submúltiplos. En Estados unidos sucede lo mismo con el pie. Todo topógrafo debe tener cuidado al hacer conversiones, e indicar correctamente las unidades de todas sus medidas. Las equivalencias del metro con el sistema inglés son:

1 metro (m) = 3,2808 pie = 39,37 pulgadas

            Son múltiplos del metro:

1 megametro (Mm) = 10.000 metros (m)

1 kilómetro (Km) = 1.000 metros (m)

1 hectómetro (Hm) = 100 metros

1 decámetro (Dm) = 10 metros (m)

Si deseamos medir longitudes más grandes que el metro utilizaremos los múltiplos.

1m= 0,1Dm= 0,01Hm= 0,001Km

            Son sub-múltiplos del metro:

1 decímetro (dm) = 1/10 del metro = 0,1 metros (m)

1 centímetro (cm) = 1/100 del metro = 0,01 metros (m)

1 milímetro (mm) = 1/1000 del metro = 0,001 metros (m)

Si deseamos medir longitudes mas pequeñas que el metro utilizaremos los submúltiplos.

1m= 10dc= 100cm=1.000mm

            Existe en la actualidad un movimiento mundial que promueve la adopción del Sistema Internacional de Unidades que se conoce generalmente como el SI. Este sistema, que no implica cambio alguno en las dimensiones ni en los valores, será un medio para normalizar y simplificar las unidades de medida en todo el mundo. Las unidades SI de mayor importancia para los topógrafos son el metro (m) para distancias, el radián (rad) para ángulos planos, el metro cuadrado (m2) para áreas y el metro cúbico (m3) para volúmenes.

1.2 Unidad de superficie

Para expresar una medida hay que indicar su valor numérico y la unidad de medida en la que está expresado. Por eso es fundamental que conozcas las unidades de medida de superficie. La unidad principal de superficie es el metro cuadrado. Metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que mide un metro de lado.

Son múltiplos del metro cuadrado: 

1 kilómetro cuadrado (Km2) = 1.000.000 metros cuadrados (m2)

1 hectómetro cuadrado (hm2) = 10.000 metros cuadrados (m2)

1 decámetro cuadrado (dam2) = 100 metros cuadrados (m2)

Son sub-múltiplos del metro cuadrado:

1 decímetro cuadrado (dm2) = 0,01 metro cuadrado (m2)

1 centímetro cuadrado (cm2) = 0,0001 metro cuadrado (m2)

1 milímetro cuadrado (mm2) = 0,000001 metro cuadrado (m2)

Hay que tener en cuenta que las unidades de superficie son cuadradas. El paso de una unidad a la siguiente se hace dividiendo o multiplicando a lo largo y a lo ancho, por tanto dividiendo o multiplicando doblemente por 10 es decir, dividiendo o multiplicando por 100.

 

1.3 Unidades angulares

            Para la medición de ángulos se emplean distintas unidades, que varían según el sistema que se adopte para la división de la circunferencia, dando lugar a diferentes sistemas.

Ángulos: Un ángulo es la abertura o cantidad de rotación que sobre un plano se marcan dos semirrectas con un origen común llamado vértice.

Topográficamente, los ángulos se miden sobre el plano horizontal y sobre el plano vertical. Los ángulos que se miden sobre el plano horizontal se llaman ángulos horizontales y los que se miden sobre un plano vertical se llaman ángulos verticales.

Los ángulos horizontales se clasifican en Rumbos (Rbo), acimutes (Az) y ángulos de deflexión (Δ).

Azimut: Es el ángulo que se mide en sentido de los punteros del reloj a partir del meridiano norte. La magnitud de un azimut varía entre 0° y 360°. Los azimutes son astronómicos, magnéticos o supuestos, en función del tipo meridiano usado. Este deberá indicarse claramente.

 

Contrazimut de un alineamiento o azimut inverso: El contrazimut de un alineamiento es el azimut observado desde el otro extremo del mismo. Como se puede deducir, el contrazimut de un alineamiento se puede calcular por la siguiente expresión:

Contrazimut de un alineamiento = Azimut del alineamiento ± 180°.

N
S
E
W
A
B
AZAB
N
S
E
W
AZBA
Azimut Directo de la Línea AB
Azimut Indirecto de la Línea BA

Se aplica el signo (+) si el azimut del alineamiento es menor a 180° y el signo (-) si el azimut es igual o mayor de 180°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rumbo: Es el ángulo agudo horizontal entre el meridiano y la línea. El ángulo se mide partiendo desde el  Norte o del Sur hacia el Este u Oeste, según sea necesario para obtener una lectura menor de 90°, ya que su valor no puede exceder de 90°.

Contrarumbo o rumbo inverso de un alineamiento : El contrarumbo de un alineamiento es el rumbo de ese alineamiento medido en sentido contrario. Se deduce fácilmente que el contrarumbo de un alineamiento, tiene el mismo valor numérico que su rumbo, pero cuadrante opuesto. Son cuadrantes opuestos el NW con el SE y el NE con el SW.

B
N
S
E
W
A
RboAB
II
I
IV
III
N
S
E
W
RboBA

  

Conversión de Azimutes a Rumbos

Valor del Azimut Valor del Rumbo
Az° = 0° = 360° Norte (N)
0° < Az° <90° N Az° E
Az° = 90° Este (E)
90° < Az° < 180 S (180-Az°) E
Az° = 180° Sur (S)
180°< Az° < 270° S (Az°-180) W
Az° = 270° Oeste (W)
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W

Ángulo de deflexión: Es el ángulo al vértice que una alineación dada forma con la prolongación de la alineación que le precede.

1
2
Rbo12
Az12
3
4
Rbo23
Az23
Δ
Az34
Δ
Rbo34
Prolongación 2-3
Prolongación 1-2
N
E

  

 

 

 

 

Tipos de ángulos horizontales

Los ángulos verticales se clasifican en Cenitales (θ), Nadirales (θ’) y ángulos de altura (α).

ZENIT
NADIR
CIRCULO VERTICAL
HORIZONTE
θ’
θ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tipos de ángulos verticales

 

1.3.1 Sistema Sexagesimal

            En este sistema se supone la circunferencia dividida en 360 partes iguales, cada una de estas partes recibe el nombre de grado (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales o minutos (‘) y cada minuto en 60 partes iguales o segundos (‘’). A partir del segundo, las unidades inferiores siguen la ley decimal respecto a él.

            Así el número: 57º36’48,5’’ que expresa la medida de un ángulo, se lee: 57 grados, 36 minutos, 48 segundos y 5 décimas de segundo.

1.3.2 Sistema Sexadecimal

            Este sistema deriva del sistema sexagesimal, siendo su única diferencia que los minutos y segundos se expresan como décimas de grados.

El ángulo 57°36’48,5’’, en este sistema es 10°34333333

 

1.3.3 Sistema Centesimal

            En la actualidad, y debido a su mayor exactitud y facilidad, se va imponiendo en topografía el sistema centesimal. Este sistema es una apolicación del sistema decimal y supone la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamados grados (g), cada grado a su vez se divide en 100 partes iguales o minutos (c) o (‘), y cada minuto en 100 partes iguales o segundos (cc) o (‘’). Un grado centesimal es exactamente 0,9 grados sexagesimales, por lo que el factor de conversión es 0,9° sexagesimal / ° centesimal.

            Así el número: 48g20’40’’= 48g20c40cc, y se lee 48 grados 20 minutos y 40 segundos.

            También se puede escribir: 48g,2040

1.3.4 Sistema Lineal y Milesimal o Sistema Analítico

            En este sistema la unidad de medida es el radián, el cual se define como el ángulo al centro que forma un arco cuya longitud es igual al radio.

            Sabemos que la longitud de la circunferencia, trazada con un radio cualquiera r, es 2pr, y como la longitud del arco de un radián es r por definición, resulta que la circunferencia tiene 2pr/r = 2p radianes = 6,283185…. Radianes.

            El valor en grados de un radián, lo podemos obtener estableciendo la siguiente proporción:

360º/ 2pradianes     =      aº  / 1 radián

            De aquí aº = 360º / 2pr = 57º,2957795

            Es decir, que un radián equivale a 57º17’45’’ = 3438’ = 206.265’’

            En graduación centesimal obtendríamos de un modo análogo, para valor del radián 63g,661917.

1.3.5 Transformación de Graduaciones. Ejemplos

            No hay duda de que la relación entre el valor de la circunferencia y el del ángulo a es constante independientemente de la unidad angular que empleemos para expresarlo, siempre y cuando esta unidad sea la misma para ambos valores.

            Es decir, que podemos establecer que:

K = aº /360 = ag / 400 = a rad / 2pr

            Hay que tener en cuenta que un ángulo expresado en el sistema sexagesimal o en el centesimal, es un número complejo que consta de grados, minutos y segundos, y para poderlo pasar a otro sistema hay que expresarlo previamente en incomplejo de grado, de minuto o de segundo. Lo más cómodo es hacerlo en incomplejo de grado dividiendo los minutos por 60 y los segundos por 3.600 en el cado se división sexagesimal, o por 100 y 10.000, respectivamente, en el caso de división centesimal.

            Paso al sistema sexagesimal:

            Despejando en las distintas proporciones el valor de aº, obtenemos:

            aº= (360/400) . ag

            aº= (360/2p) . arad

            Simplificando:

            aº= (9/10) . ag

            aº= (180/p) . arad

            Ejemplo:

            Expresar en el sistema sexagesimal el ángulo a = 42g,7583

            Aplicando la fórmula se obtiene:

            aº= (9/10) . 42g,7583 = 38º,48247

            Para expresar este valor en complejos de grado, minutos y segundos, multiplicamos la fracción de grado por 60 para obtener los minutos y la fracción de minuto por 60 para obtener los segundos, resultando:

            0º,48247 = (80,48247 x 60)’ = 28’,9482

            0’,9482 = (0,9482 x 60)’’ = 56’’,89

            Por lo tanto, el valor de a es:

            a = 38º28’56’’,89

            Para el sistema centesimal:

            Despejando en las diferentes proporciones el valor de ag obtenemos:

            ag = (400/360) x aº

            ag = (400/2p) x arad

            y simplificando tenemos:

            ag = (10/9) x aº

            ag = (200/p) x arad

            Ejemplo:

            Expresar en sistema centesimal el ángulo a = 34º28’42’’

            Hay que reducir previamente este ángulo a incomplejo de grado, resultando:

            aº = 34º + (28/ 60)º + (42/ 3.600)º = 34º,47832

            Aplicando la fórmula resulta:

            ag = (200/ p) x 34º,47832 = 38g30c92cc

1.4 Medida Directa de Distancias

            En topografía, por distancia entre dos puntos se entiende la distancia horizontal, aunque con frecuencia se miden distancias inclinadas, éstas se reducen a su proyección horizontal.

Los denominados instrumentos de agrimensura son los utilizados para resolver los problemas que suelen presentarse en el campo, sin necesidad de planos y sin utilizar costosos aparatos topográficos. Los instrumentos y métodos de agrimensura están indicados en superficies pequeñas, según la precisión que se exija.

Se utilizan para medir pequeñas distancias (menos de 70 metros) o cuando la precisión no es muy elevada. Son un complemento indispensable de los instrumentos topográficos.

Para precisiones elevadas ha de recurrirse a la medida con hilos o cintas invar, con los que utilizando ciertos equipos geodésicos, pueden alcanzarse las mayores precisiones conocidas hasta la fecha.

Los procedimientos directos para la medición de distancias, varían mucho según sea la precisión que se necesita. Los procedimientos más burdos dan un error de aproximadamente 1% y los más refinados 1 en un 1.000.000. Empezando por los procedimientos más imperfectos tenemos:

1.4.1 Medida a Pasos

            El empleo de la medida a pasos es de utilidad en reconocimientos, para el estudio de proyectos en obras de ingeniería, y en general, en todos los casos que interese tener rápidamente una idea aproximada de una distancia. Cada persona tiene una longitud usual de paso, la cual puede controlar cuantas veces quiera. Sobre una distancia conocida cualquiera, se la recorre de un extremo a otro y se van contando los pasos. La relación entre la distancia recorrida y el número de pasos nos dará el factor de paso de la persona K = distancia recorrida/ número de pasos.

Obteniendo este factor, se puede recorrer cualquier distancia contando el número de pasos los que se multiplican por el factor y se tendrá una medida aproximada de la distancia recorrida.

Con un poco de práctica, una persona puede medir distancias por pasos con precisiones del orden de 1/50 a 1/200, dependiendo de las condiciones del terreno.

1.4.2 Odómetro y Rueda de Mediciones

            El Odómetro convierte el número de revoluciones o vueltas de una rueda de circunferencia conocida, en un valor de distancia. Las longitudes medidas con un Odómetro instalado en un vehículo, son adecuadas para ciertos levantamientos topográficos preliminares en los trabajos de localización de una vía o caminos. Las distancias medidas con este instrumento tienen una precisión del orden de 1/200 cuando la superficie está lisa. Un instrumento similar es la rueda de mediciones o perambuladora, consiste en una rueda sujeta a un palo. El usuario empuja la rueda siguiendo la línea a medir. Se emplea frecuentemente en la medición de líneas curvas.

1.4.3 Medida con Cinta 

            Este es el método más común para medir. Se engloba en este procedimiento las medidas con cadenas, cinta de acero, cintas de tela, alambre metálico, etc.

            Para hacer levantamientos de mediciones de precisión se recomienda usar cintas de acero. Éstas tienen la desventaja de partirse muy fácilmente. Las graduaciones vienen graduadas o estampadas en el metal. Generalmente la menor división es de un centímetro en toda la extensión de la cinta, salvo en el primer decímetro, que viene dividido en milímetros. La precisión que se puede obtener midiendo comúnmente con la cinta varía desde 1/1000 hasta 1/5000.

1.4.4.1 Errores en Medición con Cinta

            Los errores que se pueden cometer al realizar medidas indirectas con cintas son:

  • Cinta de longitud incorrecta
  • Alineamiento imperfecto
  • Reducción al horizonte
  • Temperatura
  • Tensión
  • Catenaria

 

1.4.4.1.1 Cinta de Longitud Incorrecta o Error de Estandarización

Una cinta de longitud incorrecta aumenta o disminuye la medida y constituye un error muy importante. Es un error sistemático.

            Es necesario comparar la cinta con la cual se hará la medición con un patrón Standard. Cuando se conoce la verdadera longitud de la cinta por haberla comparado, no hay problema en utilizarla, siempre y cuando, se aplique el factor de corrección que viene dado por:

Longitud real de la cinta

Longitud nominal de la cinta

L= Longitud medida de la línea

Lv= Longitud verdadera de la línea

1.4.4.1.2 Alineamiento Imperfecto

            Si un extremo de la línea queda desalineado, o si la cinta se atora en algún obstáculo se introduce un error sistemático que se puede calcular mediante la siguiente expresión:

Distancia que la cinta se ha desviado

1.4.4.1.3 Error por Reducción al Horizonte

            En el caso de hacer medidas en terrenos aproximadamente planos, no se acostumbra hacer la reducción al horizonte, lo cual introduce un error que se debe corregir de la siguiente forma:

Diferencia de nivel entre los dos extremos de la cinta

            Este error sólo se podrá eliminar mediante una nivelación entre los terminales de la cinta o midiendo su inclinación.

1.4.4.1.4 Variación de Temperatura

            Las cintas de acero han sido calibradas a una temperatura determinada, que generalmente es una temperatura media de 20°C. Este error es debido a la dilatación de la cinta cuando se calienta o se enfría.  La corrección para este error es:

Temperatura de la cinta al hacer la medición

Temperatura de calibración

Coeficiente de dilatación y contracción térmica de la cinta. Para el acero es de 0,000012 en el sistema métrico y 0,00000645 en el sistema ingles.

Las expresiones para hacer las transformaciones de temperatura son las siguientes:

1.4.4.1.5 Tensión Incorrecta

Si la calibración de la cinta se ha efectuado con una tensión F0 y la medición se ha ejecutado con una tensión F, la cinta ha experimentado entre estas dos condiciones una variación en la longitud que viene dada por:

F= Tensión aplicada a la cinta

F0=Tensión a la que fue calibrada la cinta

A= Sección transversal de la cinta

E=Módulo de elasticidad del acero= 20.000Kg/cm2=26.000.000Lb/pulg2

1.4.4.1.6 Catenaria o Flecha

            Las cintas de acero que no se apoyan en toda su longitud forman una curva que se lama “catenaria”. Este error  puede eliminarse si se apoya la cinta en toda su extensión y puede disminuirse aplicando una mayor tensión en la cinta. La medida de la cinta resultará mayor que la verdadera debido al acercamiento de sus extremos. La corrección debe ser negativa y está dada por la siguiente expresión:

Peso total de la cinta entre apoyos

Peso de la cinta

L= Longitud de la cinta sin apoyo

F= tensión total aplicada a la cinta

1.4.4 Estadía (Mira Topográfica)

            Son reglas graduadas en metros y decímetros, generalmente fabricadas de madera, metal o fibra de vidrio. Su precisión es 1cm y su apreciación de 1mm. Comúnmente se fabrican con longitud de 4 metros divididas en 4 tramos plegables para facilidad de transporte y almacenamiento.

1.4.5        Distanciómetros electrónicos

Están desapareciendo del mercado, ya que su precio no lo hace competitivo frente a las estaciones totales. Las principales características son:

• Pantalla de cristal líquido que proporciona lecturas más claras y exactas.

• Observación coaxial, recepción y observación en el mismo eje óptico.

• Compensación automática de condiciones atmosféricas, la introducción de los datos (temperatura y presión) se realiza por teclado.

• Memoria permanente de la constante del prisma, programa por teclado y con rango de O a 99 mm, queda memorizada hasta nueva programación.

• Señal de audio para verificación de recepción de señal. indicada por cambio de intensidad en el tono de la señal.

• Varias opciones de medición: única, promediada o repetitiva.

• Teclado funcional.

Los distanciómetros electrónicos  se pueden clasificar en: Generadores de micro ondas (ondas de radio) y los Generadores de ondas luminosas (rayo láser e infrarrojo). Los primeros requieren de transmisores y receptores de onda en ambos extremos de la distancia a medir mientras que los segundos requieren de un emisor en un extremo y un prisma reflector en el extremo contrario.

1.4.6 Mira Invar

A fin de evitar los errores instrumentales que generan en los puntos de unión de las miras plegables y los errores de dilatación del material, se fabrican miras continuas de una sola pieza, con graduaciones sobre una cinta de acero y níquel, denominado INVAR por su bajo coeficiente de variación longitudinal, sujeta la cinta a un resorte de tensión que compensa las deformaciones por variación de temperatura.


D. ANGEL ALARCON MARTI

PRESIDENTE / PROFESOR Fundador de la Escuela Internacional de Supervivencia E.O.I.T.

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